数的意义

「神发明了自然数，其他的一切都是人为的创造。」但是我们知道，在神之前，还有东西。——在与自然数相遇的那些原初经验中，自然数有着怎样的面貌呢？——可以说，与如今我们眼里看到的那种东西完全不同，它们一点也不是自然的。在这个时候，这里所发生的恰恰是一种自然的人为的区分。

这样，从混沌之中区分出来一个数学系统，可以说颇有一种「为自然立法」的感觉。既带有一些任意性，又带有一些必然性。例如说，在不同的族群那里，自然数并非共享同一个源头，但是它们最终汇聚在了一起。在这种汇集之中发挥作用的是令人们从自然中走出来的一种驱动力，这一驱动力的表现之一，就是试图用「增与损」这对范畴去理论化、符号化地把握世界的运行规律。

如果只看其中必然的部分，那么这个划分最初是这样做出的：首先，There is nothing at least，归根结底，有无。但是nothing应该是可数的a nothing，无必然是一个无。不然的话，there will be many nothing，无就是有分殊的无，也就不再是纯然的无了。也就是说，哪怕一个孤零零的无，它的存在也必须有一致性的保证。这样，我们至少就有了一个最小的系统，它有两方面：一个无和无的一，前者是系统的内容，后者是系统的形式——这两者能在所有数系的加法单位元$0$和乘法单位元$1$上发现。¹「增与损」这对范畴，是有些武断的，埃利亚学派的芝诺曾专题化地批评了这一点：重要的不是毕达哥拉斯那样的对于特殊的数的列举，而是一，也就是规律。

这里，处于中心地位的始终是规律，而非是被规律所支配着的东西。在自然数的体系中，交换律、结合律、分配律作为规律自身，它们并不规定自己所统治的实体究竟是什么，加入负数后这些规律依然能够延续它的统治。——早在在负数被接受为数系的一员之前，人们就已经运用这些法则在进行运算了，因此也是在事实上接受了负数作为一种实体的事实。例如说，他们也允许赊账，只不过不像如今这样毫无顾忌地放债。

自然数所试图描述的，是自然的（部分的）可穷举性、可列举性：1、2、3……这些数字似乎可以作为自然的索引。数字的出现标志着人类分析力量的萌芽，它将混乱无序的事态拆分成可列举的方面。在自然的种种混乱之上，居然可以以列举的方式去给出一种秩序，这难免不让人感到惊奇（归根结底是一种自身-信仰），以至于不免会乐观地认为，认为整个自然界都可以通过简单的这些数字实体（即作为索引的数、作为线索的数）及其简单的组合（即比例）来去把握。²

但是紧接着人们就发现，真正去代表了这个世界的，不在于这些数字自身，那些可穷举性、可列举性无法直接使用自然数去作对应——但是它们间的比例关系仍然以某种方式依然成立。这些不关心其所操作的实体为何的规律，才是自然的可理解性和秩序性所在。这是由数字实体向规律转变的第一步，它最初可以在毕达哥拉斯学派那里看到：自从一名学员展现了对角线中所蕴含的不可穷尽性，人们的数学兴趣就从孤零零的、单纯的自身成就的数字，转向了关系性的量（几何线段）。量被认定为是数的本质。

$\sqrt 2$的意义是什么？这既可以是个微不足道的问题，也可以是个重要的问题。如果问的是它作为一个实体的意义，那么这就是微不足道的，因为它的实存似乎只是规则的统治所营造出来的效果——「it is nothing」。但如果问的是它作为一个不存在的东西，如何能同那些被认为是存在的东西发挥同样的效应，那么这就是个相当重要的问题了。这样，我们所要做的不是解释它的几何意义，而是把它标记为从数的自身意义向几何意义的转变的重要节点——「it is a nothing but...」

重要的是意识到，扩展了的是数系本身的结构，而非其元素。其元素终归不过只是具有了各种各样的层次的nothing，但是这些不同层次的发生与组成则是事情的关键。在扩展了之后的数系中的乘法单位元$1$不再等同于之前的乘法单位元$1$，相反它作为乘法单位元，同之前的乘法单位元有着质上的不同。

再比如说，$(-1+\sqrt{3}i)/2$是$1$的立方根，这其中会有什么意义？首先这里的$1$实际上至少需要通过复平面上的点$(1,0)$来理解，其次这里的立方根至少也不再是标量的立方根。在复平面上，$(-1+\sqrt{3}i)/2$是模为$1$而偏移为$(2\pi)/3$的一条向量，因此它的三次方回到了$2\pi$，同向量$(1,0)$重合。在这里立方作为一种规则、根据其限定或者定义，不一定同我们日常生活信念中的那种几何直观的具有一致的面貌。或者说，我们日常生活信念中的那种限定是太过武断的和太过狭隘的限定。

自然数系中被不假思索地引入的规则之一是$1^n=1$，在数系的扩展中则成为了$s^n|1|^n=1$，被建立起来的是左边的$1$同右边的$1$的差异：左边的仅仅是标量的$1$、是整全的乘法单位元的某个属性，右边的则是被理解为在新体系中作为向量的乘法单位元的那种东西。$s^n$是则决定了如何向乘法单位元回归的方式，它才是重要的部分。$i^2=-1$从而$i^4=1$（或$e^{i\pi}=-1$从而$e^{2i\pi}=1$）只是以某种方式令这种回归在复数集中成为了可能，而它实际上对于任何规模的元组都是成立的。

有时候我们会发现在通过引入复数集而得到的结论，也能在我们所熟悉的实数集中也成立，这好像令人惊讶，但是其实这再正常不过了。因为在复数集研究中，我们实际上是使用了更加有限的预设——定义变多了，是因为我们使用了一些经过严格审视的限定来取代那些未经审视的限定。这里的有限意味着严格的限定，而之前那些未经审视的限定不如说是一种未限定、未区分的、模棱两可的自然状态。因此这样得到的结论在更加宽松的范围内能够有一种运用也就不奇怪了——因为那种更加宽松的范围不是思想的生存环境，里面会充斥着武断的预设，其中的混乱阻挠着思想，令它难以有所成就。

例如说，数学中的「相加」的概念（addition）本身便是这样一个历经了严格化的例子，虽然其名称始终没有变化，但是其意义却不断地在被纯化。比如我们如今所使用「联合」概念（union），尽管作为一个正式的概念在时间上出现较晚，但实质上很早就同前者混淆在了一起、以至于后来才从中分离出来。在集合论的研究中，有必要两种不同意义的「相加」——一种是在尊重几何结构的基础上进行的相加（空间内的相加），另一种则仅仅是结果的相加（集合的联合），前者是服从本质的相加而后者是表象上的相加。我们会认为两个集合的联合不足以令它们的共同性质得以保存，虽然结果上看集合的元素数量变多了，但是它毋宁损失了它们的特点，即它们的限制，而这个限制则正是相加则必须要加以保证的东西。例如说，在现实中我们说「让我们联合」只是一个习惯性的表述，单纯的联合是不够的，它实质上只是各种分散的兴趣联结产生的微弱集合，其合力毋宁说更加趋向于零。——我们真正要说的是「让我们相加」，也就是说：我们不是想让所有人的兴趣和诉求都被接纳，我们是想要凝聚起共识、并让这个共识被铭刻在秩序之中。一开始，由某个社会角色提供了最初的共识，此时它是一个$(a_1,b_1,c_1...)$，其中许多东西是缺位的，甚至是错位的，这可能是他们自己没有认识到的，但随后，其他社会角色参与其中并给出了$(a_2,b_2,c_2...)$和$(a_3,b_3,c_3...)$……这里，真正的政治运作在于，不把共识当作是一个单一维度的东西，而是尽可能多地保留下这些不同维度的存在。相反地，「联合」纵然宣称自己尊重多元性，但实际上是一种中心化的暴力：它所有的维度简化为向一个单一维度的投影，这样计算它们的合力为零，它就放心地说达到了稳定和平衡。就此而言，对于单纯的「联合」是不存在真正意义上的政治行动的，有的只是种种维护稳定行政操作。所以我们不能选择一种温和的「民主」议程，一切科学研究、政治进程都不应采用这种议程，因为目前「人民」这一词汇掩盖了这些不同社会角色在现实上的差异，也就是说拒认了问题其实存在多个维度的可能性，这是抵抗社会变革的惰性。这样的「我们」，根本不能说是一个共同体（community），而只能说是一个联邦（union）。列宁的党内民主，是以各方代表针锋相对的党内斗争为基础的，其烈度远远高于社会明面上所表现出来的种种对抗，因为这种对抗是立体的、在多维度上的对抗，究竟有什么事正交的，只有在这种对抗中才能生产出来——他们精确地在这个意义上被称作「代表」。正是这个生产了诸多苏联笑话的党和代表，能够生产出诸多有效的政治纲领。——就此而言，喜剧和我们对其的态度意味深长。

左派内在无限可分，但右派停留在不区分。归根结底，如果在科学和政治上拒斥的就是这种严格化的尝试和拓展的尝试，那么他们激进性都是虚假的激进性——他们拒斥共同体发展出的新的共识，因而他们是反动的。他们拒绝「虚」的东西，这其中有一些合理性：如今在大型经济系统中支配着资金流动的那些东西，哪怕使用$\mathrm{R}^n$去索引它们都远远不够，哪里还能找得到一点实在性呢？但是，在「一就是实实在在的一」之下，更多的还只是这些锡安主义者的任性——这些金融贸易不能还原为这些理论建构，但是难道存在于日常信念中的理论建构难道不正已经是最不可救药的一种还原吗？他们或许以为自己知道，要真正忠实于这个最初的日常信念，需要付出怎样的努力。