古巴比伦计数法

巴比伦文明的楔形文字里，他们用划痕来表示数字。垂直的「一竖」表示1，而横着的「一勾」表示10，这样的规律一直到50为止。这里发生了第一次的意义压缩，即用一个标记代表十个标记。

值得注意的是，11直到50的符号，正如1到9一样，是通过不断为其中添加一勾来达到的：10是一个勾，而50是五个勾。我们可以猜想这个勾的出现是怎样的一种权宜之计：它仅仅被用作对「一捆」的直接指代。比如说，五个勾加三条竖可以表示五捆小麦加上三根小麦。

到59为止，这些符号都仅仅是对不同所指物（一条或一捆）的直接指代，其与其字面形象还没有与其指代物脱离开来，因此不能构成一个数的记号系统。如果仅仅有这些符号，我们将只能依赖一种考古学式经验推断来确定这些符号的意义：因为我们从来没有发现有十道竖的符号，因此我们推断他们使用其他符号代表了10；而这个符号很有可能是一个勾，因为我们最多只看到了五个勾……

尽管如此，这样的记号对于只会使用手指计数的原始人而言已经足够复杂了，因为原始人不懂得两只手掌除了可以作为十的代表之外，其自身还可以作为一个象征——象征着手指计数的失败。通过将现实物的空间问题转换到记号的字面上，就产生了新的问题，那就是字面空间不够用了，于是，如何利用已有的字面空间就成了一个新的问题。比如，用双手不仅代表10，而且作为对10的超出，这个双手就是巴比伦文明中的「一勾」。可以说，通过利用这一个勾，条与捆、量与质最小的差异被创造了出来，使得巴比伦记法完成了由记号向符号的最初过渡，即由指代作用向象征作用的过渡。

在这里我们可以谈一下对谷堆悖论和秃头悖论的初步解决，即：加一粒米不能令几粒米成为谷堆，拔掉一根毛不能令人成为秃头。根据上面的对「条」与「捆」的分析，我们可以知道「堆」与「秃」同样是对使用「粒」与「根」进行计数的某种失败的象征：在谷堆的一粒粒增加中我们放弃了某种简单的计数，在头发的一根根凋落之中我们承认了自己秃头的事实。至于这种失败之后为什么干脆去用斤去称米而不是分十粒为一组，则是进一步失败的结果了，或许直到差分学我们才能清晰地理解所有这一连串的失败。

到59为止，巴比伦的解决方案是不够成功的，因为写到59的时候，他们一共需要划十五道标记，最初的空间不足的问题再一次出现了。在60这里，巴比伦人重新回到了「一竖」，不过不再是放到勾之后的「一竖」，而是放在勾之前的「一竖」。例如，「一竖两勾三竖」表示83，「三竖两勾两竖」表示201。

在这里我们看到，字面上符号的次序也开始被考虑进符号的生成过程之中了，从此，我们才可以说某个符号在一个系统之中占有一个位置。一旦符号系统中位置的作用被明确了下来，那么便可类推下去：我们在左边又可以有新的「勾」，又有新的「竖」……借此，一种词法生成规则被创造了出来，这意味着词的创造，这里所创造的词所描述的是六十进制数。词法规则的发明意味着前五十九个数而沦为了词中的字母，失去了其直接性的意义及其自在的地位，而仅仅由于它在词中的地位而具有意义……「竖」和「勾」则更是进一步沦为了字母的笔画、彻底的符号。要知道曾经有这么一个时代，每一个数字字符都曾有毕达哥拉斯派为之作诗，每一个数字字符都曾在决定命运的卡牌之中拥有其名号……而如今，它们再也没有这样的特权了，它们现在只是干巴巴的字母。

通过字母的排列，巴比伦人可以指代任意大的自然数——虽然只有到了阿基米德，人们才有意识地给出了之所以这样做的理论。如果想表示任意大的自然数，那么唯有这条与位置相关的表示方法是重要的。但是，数的表示形式的意义又是反过来依赖于数的算术运算来确定的，例如只有通过算术运算「$1\times10^2+2\times10^1+3\times10^0$」，我们才能确定表达式「$123$」的意义，但我们如何在不明白使得算术运算得以可能的实体之前就定义其规则（rule）呢？答案是，我们在尚未拥有要素时便为其虚构一种先行的纯符号意义上的定律（law），这些定律并不约束其可能的元素为何——无论是零、负数、分数、虚数……这是真正的古今之变，也是真正意义上的反叛：我们如今把作为表达式的数作为首要的东西，而把数本身放到的次要的地位。¹

我们不妨把「竖」写作「J」，把「勾」写作「W」，而字母记作「U」。那么我们能从巴比伦计数法中总结出三条词法的生成规则，其中第一条是增殖规则，后两条则是化约规则（将增长的符号消化在计数系统中）：

1. $ U \rightarrow UJ $：长、增长。
2. $ UJJJJJJJJJJ \rightarrow UW $：约、归约、压缩、以合并项替换。
3. $ UWWWWWW \rightarrow JU $：化、吸纳、消化、置入内部。

回顾巴比伦计数法的发展阶段，我们意识到即使作为那个时期数学成就最高的文明，巴比伦人的早期探索也比我们自然直觉所能设想的要更为艰难，因为人们所要争取到的是概念，而概念只有在一次次碰壁之中才成为概念。

首先，即使他们运用到了进制数，但是也不是有概念的运用它的，证据是他们没有充分意识到作为占位符的「U」或零的作用，而只是往往空出一块地方来表明这里没有数——而实际上，在没有数的地方，毕竟还有位置。零的发现完全仰仗于印度人，以至于当时与印度关系密切的文明（如唐）都受益匪浅。

其次，他们对于自己的计数系统本身没有作化约，而是保留着历史残余。他们的计数系统缺少了至关重要的「零」，但是有多达五十九个平凡的字母，这是非常臃肿的，这样大概是兼容性所迫。巴比伦人也使用百进制和十进制，而天文和数学中则一贯使用六十进制。至于为什么是六十进制，大概在于某种协调人的手指数与太阳的运行周期的尝试：要十等分一个圆可不容易。

最后，他们也有分数，但只有非常贫乏的几个特殊分数，而且它们用的是专门的符号，从而没有实质上成为数系的一部分。他们更常用的是小数——用分子除以六十的幂的分母得到的序列，这种写法一直沿用到文艺复兴时代。

即使是这样的计数系统，也要比日常语言更加适用于数学研究，因为后者往往执着于「十百千万亿」中的每一位的特殊性、执着于「年月日时分秒毫秒」那差异的进位手段、执着于字母和特定的数背后的意义。即使还很不完全，巴比伦的计数系统也始终按照数系自身的要求——即不断地增长——而非现实的要求来改进他们的计数法，因此永久性地摆脱了诸如「闰秒」「时区」之类的牛鬼蛇神的武断约束。

你会问，对数的表示法改进究竟有什么意义？用小麦的捆数来丈量事物岂不于我们更加重要且「现实」？我们又何苦要去改进它呢？它对我们日常生活的帮助，难道不是再「虚无」不过了吗？对此的回答只能是：从这一番考察之中我们看到，古巴比伦过去的神秘数字通过对今天的数学符号的考察得到了新的理解，我们由此理解了小麦捆数的交换的意义，并把它与交易所里的符号交换联系了起来。这一切之所以可能，是因为现代的数学令我们明了了其中的关系，即我们所谓的「现实」未曾不建筑在「虚无」之上。丈量之行动从来是一种虚构，而这种虚构从前只是王公贵族的特权，然而现在它被祛魅了，从而允许普通人也一探究竟，从而允许这些普通人也能如此发问——「这有什么意义呢？」由此我们被接纳为这一共同体的无法置身事外的一员，思索着这场将我们纳入其中的、并将逐渐纳入更多的人的革命。